7.1. Понятие устойчивости. Необходимое и достаточное условие устойчивости

Под устойчивостью линейной системы понимают способность восстанавливать состояние равновесия, из которого она была выведена под влиянием возмущающего воздействия.
Система может быть:
- устойчивой, если после устранения возмущения она возвращается в исходное состояние равновесия;
- неустойчивой, если после устранения возмущения она удаляется от равновесия;
- нейтральной (или, другими словами, находящейся на границе устойчивости), если после устранения возмущения она возвращается в состояние равновесия, отличное от исходного.
В качестве примера рассмотрим шарик, находящийся на различных поверхностях (рис. 7.1). Если поверхность вогнутая, например, внутренность чаши (рис. 7.1,а), положение равновесия шарика будет находиться на дне. Будучи выведен из равновесия механическим воздействием, шарик, совершив ряд колебательных движений, под действием силы тяжести вернется в исходное равновесное положение. Это пример устойчивой системы. Если тот же шарик поместить на вершину выпуклой поверхности (рис. 7.1,б), малейшее воздействие на него приведет к тому, что шарик скатится вниз и вернуться обратно самостоятельно не сможет. Это пример неустойчивости системы. Шарик, лежащий на идеально ровной горизонтальной поверхности (рис. 7.1,в), может служить примером нейтральной системы: перемещение его внешним воздействием влево или вправо приведет к тому, что он займет новое положение равновесия, отличающееся от исходного.

Характерный вид переходных процессов в устойчивых, неустойчивых и нейтральных системах показан на рис. 7.2. В зависимости от свойств системы, переходной процесс в них может носить как апериодический (неколебательный), рис. 7.2,а,б,в, так и периодический (колебательный) характер (рис. 7.2,г,д,е).

Чтобы получить необходимое и достаточное условие устойчивости системы, рассмотрим ее математическое описание. В общем виде линейная динамическая система может быть представлена дифференциальным уравнением вида:

или в операторной форме:

Изменение выходной величины в переходном процессе определяется:
- собственными динамическими свойствами системы – вектор коэффициентов a в левой части уравнений (7.1) и (7.1а);
- внешними воздействиями, описываемыми правой частью уравнений (7.1) и (7.1а).
При введении понятия устойчивости рассматривалось поведение системы только после устранения внешних воздействий. В этом случае правая часть уравнений (7.1) и (7.1а) равна нулю, а изменение выходной величины во времени зависит только собственных динамических свойств системы и начальных условий. Такое поведение системы принято называть свободным движением. Следовательно, устойчивость не зависит от внешних воздействий, а определяется только своим свободным движением. Поэтому, чтобы определить, устойчива или неустойчива система, достаточно проанализировать ее поведение под действием свободной составляющей, т.е. рассмотреть свободное движение системы.
Если правая часть уравнения (7.1а) равна нулю, оно принимает вид:

Такое уравнение называется однородным. Этим однородным линейным дифференциальным уравнением описывается свободное движение линейной системы. Если выражение в скобках приравнять к нулю, то полученное таким образом уравнение

называется характеристическим уравнением системы, а pj – его неизвестные корни.
Из курса математики известно, что общее решение однородного дифференциального уравнения (7.2) нужно искать в виде суммы линейно независимых частных решений вида

или

где xс.д.(t) – выходная величина, изменяющаяся во времени под действием свободного движения; Сj – постоянные интегрирования, зависящие от коэффициентов уравнения aj и начальных условий; pj – корни характеристического уравнения; t – время.
Чтобы система была устойчива, регулируемая величина xс.д.(t) после устранения возмущения с течением времени должна стремиться к своему прежнему значению, которое она имела до нарушения состояния равновесия. Если измеряемую величину рассматривать в отклонениях Δxс.д.(t) от начального значения, то условие устойчивости можно записать в следующем виде:

Это условие может быть выполнено только в том случае, если каждое слагаемое в выражении (7.4) или каждая составляющая

в уравнении (7.3) с течением времени будет непрерывно уменьшаться. Если хотя бы одно из слагаемых станет возрастать, то с течением времени оно может стать больше суммы всех остальных, что будет причиной неустойчивости. Так как постоянные интегрирования Сi – конечные числа, то лишь значения корней характеристического уравнения, которые должны быть отрицательными, способны обеспечить приближение отклонения регулируемой величины к нулю. Это единственная возможность сделать систему устойчивой.
Но корни характеристического уравнения могут быть вещественными, комплексно-сопряженными либо и вещественными, и комплексно-сопряженными. Для вещественных корней составляющие Δxс.д. будут иметь вид

Каждую пару комплексных сопряженных корней можно записать в следующем виде:

где k, k+1 – номера корней, αk, k+1 – вещественная часть корня, ωk, k+1 – мнимая часть корня. Также известно, что для комплексных корней составляющие общего решения уравнения (7.2) находятся как:

где Ak, k+1 и Bk, k+1 – постоянные интегрирования.
Из данного выражения следует, что только при отрицательном значении отклонение регулируемой величины с течением времени будет стремиться к нулю. Теперь можно сформулировать необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем:

Чтобы линейная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вещественные корни и вещественные части комплексных корней были отрицательными.

Устойчивость является одним из главных требований к автоматическим системам регулирования (АСР). Если система не способна восстановить равновесное состояние, нарушенное в процессе работы, то она непригодна для практического использования. После того, как вычислены передаточная функция объекта и параметры настройки регулятора, необходимо определить, устойчива система или нет. Для проверки можно использовать как необходимое и достаточное условие устойчивости, приведенное выше, либо критерии устойчивости. Далее рассмотрим три таких критерия:
- критерий Рауса – Гурвица;
- критерий Михайлова;
- критерий Найквиста – Михайлова.

Критерий Рауса – Гурвица

Критерий Рауса – Гурвица позволяет судить об устойчивости системы по коэффициентам ее характеристического уравнения. Впервые критерий устойчивости был предложен в 1875 году английским математиком Раусом в виде таблицы. В 1895 году швейцарский математик Гурвиц опубликовал критерий устойчивости в виде определителей. Так как оба этих критерия приводят к одним и тем же алгебраическим неравенствам и отличаются только способом их получения, указанные критерии объединяют, называя критерием Рауса – Гурвица.
Пусть имеется характеристическое уравнение системы:

Тогда в соответствии с критерием Рауса – Гурвица линейная АСР будет устойчива, если при an > 0 определители Δ1, Δ2, Δ3…, Δi, … , Δn будут положительны. Здесь Δi – диагональные определители квадратной матрицы A n-го порядка (матрица Гурвица) составленной из коэффициентов уравнения (7.5):

Выражения для определителей матрицы Гурвица приведены ниже:

Так, например, для системы 3-го порядка с характеристическим уравнением

матрица Гурвица будет иметь вид:

а условие устойчивости запишется так:

Если хотя бы один из определителей меньше нуля, система будет неустойчивой, поэтому после обнаружения первого отрицательного определителя процесс проверки устойчивости прекращается.
Если отрицательных определителей нет, но есть равные нулю, такая система находится на границе устойчивости (нейтральна).

Пример 1. Характеристическое уравнение имеет вид

Определить, устойчива ли система, используя критерий Рауса – Гурвица.
Решение.

Δ3 вычислять не нужно, т.к. уже второй определитель оказался отрицательным.

Пример 2. Характеристическое уравнение имеет вид

Определить, устойчива ли система, используя критерий Рауса – Гурвица.
Решение.
Составляем матрицу Гурвица:

Рассчитываем значения диагональных определителей:

Все определители больше нуля, следовательно, система устойчива.

Критерий Михайлова

В 1936 году советским ученым А.В.Михайловым был предложен критерий устойчивости, основанный на взаимосвязи между характером переходных процессов, возникающих при нарушении равновесия системы и амплитудной и фазовой вынужденных колебаний, установившихся в системе под воздействием гармонически изменяющейся входной величины. Анализ устойчивости в соответствии с критерием Михайлова сводится к построению по характеристическому уравнению системы графика, носящего название годограф Михайлова, по виду которого можно судить о состоянии системы (устойчива она или нет).
Годограф строится следующим образом. Пусть характеристическое уравнение имеет вид (7.5).
Обозначим через F(p) многочлен, стоящий в левой части этого уравнения:

и р заменим на iω:

В полученном выражении члены, содержащие четные степени iω, будут, очевидно, вещественными величинами, а члены, содержащие нечетные степени iω – мнимыми. В самом деле (iω)^2 = –1, (iω)^4 = 1, (iω)^6 = –1 и т. д.
Обозначим через Re F(iω) вещественную часть функции F(iω), а через Im F(iω) – ее мнимую часть, получим

где

Задаваясь отдельными значениями ω от 0 до бесконечности, по выше приведенным уравнениям определяем величины Re F(iω) и Im F(iω). Результаты вычислений удобнее всего представить в виде таблицы. Затем по числовым значениям Re F(iω) и Im F(iω), как по координатам точек, на комплексной плоскости нанести отметки, соответствующие определенным значениям ω. После нанесения точек необходимо их соединить кривой, которая и будет годографом Михайлова (рис. 7.3).
В соответствии с годографом Михайлова условия устойчивости формулируются следующим образом.
АСР устойчива, если при изменении ω от 0 до бесконечности годограф Михайлова, начинаясь на вещественной положительной полуоси комплексной плоскости и, минуя начало координат, последовательно проходит в направлении против часовой стрелки число квадрантов, равное степени характеристического уравнения системы.
Если это условие не выполняется, система неустойчива. Если годограф проходит через начало координат, как это показано на рис. 7.3,в, система будет находиться на границе устойчивости.
Достоинством данного критерия является его наглядность и применимость для анализа системы любого порядка. Примеры годографов Михайлова для различных систем приведены на рис. 7.3.

Пример. Характеристическое уравнение имеет вид:

Определить, устойчива ли система, используя критерий Михайлова.
Решение. Введем обозначение

Заменим p на iω и с учетом, что i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, получим

Далее следует, подставляя в выражения для Re F(iω) и Im F(iω) различные значения ω, найти координаты точек на комплексной плоскости и построить годограф Михайлова (рис. 7.4).

На практике невозможно построить годограф в диапазоне изменения ω от 0 до бесконечности. Поэтому вместо бесконечности следует подобрать достаточно большое конечное значение частоты ωкон, при котором станет ясно, какое число квадрантов и в какой последовательности проходит кривая годографа. Правильный выбор ωкон очень важен, так как при малых ее значениях хорошо различима начальная часть годографа, проходящая вблизи начала координат, но кривая может оказаться «обрезанной», что не позволит верно определить число квадрантов. Так, на рис. 7.4,а построенная часть годографа проходит лишь три квадранта, в то время как полный график проходит четыре квадранта, что хорошо видно из рис. 7.4,б, изображенного при бóльшем ωкон. Однако, если ωкон велико, бывает сложно рассмотреть начальную часть годографа, поэтому рекомендуется строить два графика: с малым и большим диапазоном изменения частоты ω.

Критерий Найквиста – Михайлова

Критерии Рауса – Гурвица и Михайлова не подходят для замкнутых систем с запаздыванием, так как в их характеристическое уравнение входит экспонента. В 1932 году американский ученый Найквист предложил критерий для исследования устойчивости усилителей с обратной связью. В 1938 году Михайлов обобщил и распространил его на системы автоматического регулирования. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы с отрицательной обратной связью (в том числе, автоматической системы регулирования, АСР) по амплитудно-фазовой характеристике (АФХ) разомкнутой системы.
Любая АСР, как система с обратной связью, является замкнутой. Изменение сигнала на входе какого-нибудь элемента (объекта, регулятора) сказывается на выходных сигналах всех других элементов. Они также изменяются в соответствии со своими динамическими свойствами. Если же нарушить связь между какими-либо двумя элементами, например между чувствительным элементом и элементом сравнения (разорвать обратную связь), то система из замкнутой превратится в разомкнутую.
Рассмотрим разомкнутую систему, состоящую из последовательно соединенных регулятора и объекта регулирования (рис. 7.5).

Если обозначить через Wоб(p) передаточную функцию объекта, а через Wp(p) – передаточную функцию регулятора, передаточная функция и амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будут иметь вид:

Wраз(p) = Wоб(p)Wp(p),

Wраз(iω) = Wоб(iω)Wp(iω).

Подадим от генератора синусоидальных колебаний на вход разомкнутой системы сигнал xвх с частотой ω и амплитудой Aвх. Спустя некоторое время на выходе также установятся синусоидальные колебания xвых с той же частотой, амплитудой Aвых и сдвигом фазы φ. Предположим, что при некотором значении частоты сдвиг фазы оказался равен +π или –π, а амплитуды колебаний на входе и на выходе оказались равны между собой:

φ = ±π ; Aвх = Aвых = A.

Данное состояние разомкнутой системы соответствует такой точке ее АФХ, которая находится на единичном расстоянии от начала координат (модуль АФХ Mраз(ω) = Aвых/Aвх = 1) с углом π от вещественной положительной полуоси (аргумент АФХ φраз(ω) = ±π). На комплексной плоскости эта точка имеет координаты (–1, 0i).
Теперь отключим генератор колебаний от входа системы и одновременно замкнем отрицательную обратную связь, как это показано на рис. 7.6. В результате мы получим замкнутую систему, представляющую собой одноконтурную АСР.

При этом в системе, фактически, изменений не произойдет, потому что на вход Wраз(iω) будет подаваться точно такой же синусоидальный сигнал, что и от генератора, так как

В результате получим замкнутую систему, в которой будут наблюдаться незатухающие колебания с постоянной амплитудой, а, как мы знаем, это характерно для систем, находящихся на границе устойчивости (см. рис. 7.2,е в разделе 7.1). Таким образом, прохождение графика АФХ разомкнутой системы через точку (–1, 0i) свидетельствует о нахождении соответствующей замкнутой системы на границе устойчивости.
Теперь рассмотрим второй случай. Предположим, в ходе того же самого опыта на выходе разомкнутой системы установились колебания с тем же сдвигом фазы π, но с меньшей амплитудой:

φ = ±π ; Aвых < Aвх.

Это состояние соответствует точке АФХ разомкнутой системы, лежащей на вещественной оси правее точки (–1, 0i) (Mраз(ω) = Aвых/Aвх < 1, φраз(ω) = ±π).
После отключения генератора колебаний и замыкания отрицательной обратной связи на вход Wраз(iω) поступит сигнал с меньшей амплитудой, чем создавал генератор. Пройдя через регулятор и объект, этот сигнал снова будет несколько ослаблен (так как Mраз(ω) < 1), в следующий момент времени поступит по обратной связи на вход Wраз(iω) с еще меньшей амплитудой, и это будет повторяться снова и снова. Таким образом, в данном случае с течением времени амплитуда колебаний в замкнутой системе будет непрерывно уменьшаться, стремясь к нулю, т.е. будет наблюдаться затухающий процесс, что, как известно, характерно для устойчивых систем (рис. 7.2,г).
В третьем возможном случае на выходе разомкнутой системы установятся колебания со сдвигом фазы π и большей амплитудой, нежели входные колебания:

φ = ±π ; Aвых > Aвх,

что соответствует точке АФХ разомкнутой системы, лежащей на вещественной оси левее точки (–1, 0i) (Mраз(ω) = Aвых/Aвх > 1, φраз(ω) = ±π).
Здесь при прохождении через регулятор и объект сигнал усиливается (Mраз(ω) > 1), и его подача по обратной связи на вход Wраз(iω) приводит к возникновению колебательного процесса с непрерывно нарастающей амплитудой («расходящегося»), как на рис. 7.2,д, т.е. замкнутая система оказывается неустойчивой.
Из сказанного становится ясно, что об устойчивости замкнутой системы можно судить на основании расположения амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы относительно точки с координатами (–1, 0i) (рис. 7.7).
Критерий Найквиста – Михайлова формулируется следующим образом.
Замкнутая система устойчива, если она устойчива в разомкнутом состоянии, и ее амплитудно-фазовая характеристика (построенная для всех значений ω от 0 до бесконечности) не охватывает точку с координатами (–1, 0i).
Если амплитудно-фазовая характеристика проходит через точку с координатами (–1, 0i), система находится на границе устойчивости. Если АФХ охватывает точку с координатами (–1, 0i), то система неустойчива.

Отметим еще раз, что критерий Найквиста – Михайлова сформулирован только для систем, являющихся устойчивыми в разомкнутом состоянии. Однако, его применение можно распространить и на системы, включающие в себя последовательно соединенное интегрирующее звено. Примером может служить последовательное соединение устойчивого объекта регулирования и ПИ-регулятора. Такие системы в разомкнутом состоянии находятся на границе устойчивости. Их передаточная функция в общем виде запишется как

где Wраз.уст.(p) может быть передаточной функцией любой устойчивой разомкнутой системы.
АФХ таких систем при ω = 0 уходит в бесконечность. Для использования критерия Найквиста – Михайлова следует мысленно дополнить ее график дугой бесконечно большого радиуса (рис. 7.8).

Пример. Используя критерий Найквиста – Михайлова, определить, устойчива ли замкнутая АСР, если ее передаточная функция в разомкнутом виде задана как

Решение. Заменив p на iω запишем выражение для АФХ разомкнутой системы:

Далее необходимо построить график АФХ. Возможны два варианта построения: в декартовых координатах («на комплексной плоскости») и в полярных координатах. Приведем первый вариант, для чего сначала составим таблицу значений частоты, а также вещественной и мнимой составляющих амплитудно-фазовой характеристики:

По значениям из таблицы построим график (рис. 7.9).

График амплитудно-фазовой характеристики не охватывает точку (–1, 0i), следовательно, система устойчива.

Беспалов, Александр Валентинович. Системы управления химико-технологическими процессами : учебник для вузов / А. В. Беспалов, Н. И. Харитонов. — Москва: Академкнига, 2007. — 690 с.