Глава 5. Типовые звенья САР
С целью упрощения анализа и моделирования САР сложные передаточные функции представляют в виде комбинаций простых - элементарных - передаточных функций. Эту операцию называют декомпозицией передаточной функции.
Объкты, описываемые элементарными передаточными функциями, называют элементарными звеньями. Всего существует 6 типов линейных элементарных звеньев:
- пропорциональное;
- инерционное;
- интегрирующее;
- дифференцирующее;
- колебательное;
- звено запаздывания.
Структурную схему линейной системы любой сложности можно представить в виде соединений (последовательных, параллельных, обратных связей) этих шести элементарных звеньев. Данные звенья всегда используются при описании САР, поэтому их называют типовыми. Также к типовым относят и некоторые наиболее распространенные комбинации элементарных звеньев, такие типовые неэлементарные звенья мы рассмотрим в конце данной главы.
5.1. Пропорциональное звено
Пропорциональное (также усилительное или безынерционное) звено. Связь между выходной и входной величинами определяется алгебраическим уравнением:
Объкты, описываемые элементарными передаточными функциями, называют элементарными звеньями. Всего существует 6 типов линейных элементарных звеньев:
- пропорциональное;
- инерционное;
- интегрирующее;
- дифференцирующее;
- колебательное;
- звено запаздывания.
Структурную схему линейной системы любой сложности можно представить в виде соединений (последовательных, параллельных, обратных связей) этих шести элементарных звеньев. Данные звенья всегда используются при описании САР, поэтому их называют типовыми. Также к типовым относят и некоторые наиболее распространенные комбинации элементарных звеньев, такие типовые неэлементарные звенья мы рассмотрим в конце данной главы.
5.1. Пропорциональное звено
Пропорциональное (также усилительное или безынерционное) звено. Связь между выходной и входной величинами определяется алгебраическим уравнением:
где K – коэффициент усиления звена.
Примером усилительного звена может служить рычажная передача (рис. 28):
Примером усилительного звена может служить рычажная передача (рис. 28):
Рис. 28. Пример усилительного звена
Передаточная функция и амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) звена (рис. 29):
5.2. Инерционное звено
Апериодическое (инерционное) звено. Зависимость между входом и выходом апериодического звена описывается дифференциальным уравнением первого порядка:
Апериодическое (инерционное) звено. Зависимость между входом и выходом апериодического звена описывается дифференциальным уравнением первого порядка:
где Т – постоянная времени звена; K – коэффициент усиления звена.
Передаточная функция:
Передаточная функция:
Рис. 30. Характеристики апериодического звена:
а – временнáя характеристика; б – АФХ
Решение исходного уравнения (44) дает:
При единичном воздействии
кривая разгона апериодического звена (рис. 31):
кривая разгона апериодического звена (рис. 31):
Рис. 31. Кривая разгона апериодического звена при Хвх = 1
Постоянная времени T апериодического звена определяется по тангенсу угла наклона касательной a к кривой разгона при t = 0:
Постоянная времени T – время, за которое выходная величина достигла бы своего установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости в начальный момент.
Примером апериодического звена может служить аппарат со свободным сливом жидкости (рис. 33,б).
Примером апериодического звена может служить аппарат со свободным сливом жидкости (рис. 33,б).
5.3. Интегрирующее звено
Зависимость между входом и выходом интегрирующего звена описывается уравнением:
Зависимость между входом и выходом интегрирующего звена описывается уравнением:
где K – коэффициент усиления звена.
Передаточная функция:
Амплитудно-фазовая характеристика (рис. 32,б):
Примером интегрирующего звена может служить емкость, из которой жидкость откачивается насосом (рис. 33,а), а примером апериодического звена – емкость, из которой жидкость вытекает под действием силы тяжести (рис. 33,б). В случае нарушения равенства Fпр ≠ Fст (рис. 33,а) уровень начнет меняться либо до полного опорожнения сборника, либо до перелива сборника. Это объект без самовыравнивания (интегрирующее звено).
Если жидкость вытекает из отверстия под действием силы тяжести, то такой объект обладает свойством самовыравнивания (рис. 33,б). При небольшом изменении уровня можно принимать, что изменение уровня описывается уравнением апериодического звена (44).
Рис. 33. Примеры объектов:
а – без самовыравнивания; б – с самовыравниванием
5.4. Дифференцирующее звено
Связь между входной и выходной величинами идеального дифференцирующего звена имеет вид:
Связь между входной и выходной величинами идеального дифференцирующего звена имеет вид:
где K – коэффициент усиления звена.
Передаточная функция:
Передаточная функция:
Амплитудно-фазовая характеристика (рис. 34):
Рис. 34. АФХ идеального дифференцирующего звена
Следует обратить внимание, что фазочастотная характеристика ф=П/2
всегда положительна, т. е. идеальное дифференцирующее звено на выходе создает опережение входного сигнала при всех частотах w. В математическом аспекте это возможно, но совершенно невозможно с точки зрения материального и теплового балансов. Поэтому идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно и практически применяют звенья, обеспечивающие приближенно дифференцирующее действие (см. раздел «Неэлементарные звенья»).
всегда положительна, т. е. идеальное дифференцирующее звено на выходе создает опережение входного сигнала при всех частотах w. В математическом аспекте это возможно, но совершенно невозможно с точки зрения материального и теплового балансов. Поэтому идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно и практически применяют звенья, обеспечивающие приближенно дифференцирующее действие (см. раздел «Неэлементарные звенья»).
5.5. Колебательное звено
Связь между входной и выходной величинами определяется уравнением второго порядка:
Связь между входной и выходной величинами определяется уравнением второго порядка:
или в операторной форме
откуда
Соотношение Т2/Т1 определяет, какие корни имеет знаменатель передаточной функции W(p):
Корни этого квадратного уравнения находятся по формуле:
Переходный процесс будет колебательным, если корни уравнения комплексные. Это будет при
или при
При
корни уравнения будут действительными, т. е. переходный процесс не колебательный. Звено, описываемое таким уравнением, не является колебательным и может быть представлено как два последовательно включенных апериодических звена (см. раздел «Неэлементарные звенья»).
Рис. 36. Кривые разгона (а) и АФХ (б) колебательного звена
Введем обозначение:
откуда
Заменив T1 на единственную постоянную времени колебательного звена T, получим следующее выражение для передаточной функции колебательного звена (58):
Параметр ξ называют декрементом затухания. Звено будет обладать колебательными свойствами только при выполнении условия
Если декремент затухания равен нулю, получим частный случай колебательного звена, который носит отдельное название – консервативное звено. Его передаточная функция равна
5.6. Звено запаздывания
Выходная величина равна входной, но отстоит от нее на время t:
Выходная величина равна входной, но отстоит от нее на время t:
Примерами звеньев чистого запаздывания служат транспортеры, трубопроводы и т. д.
5.7. Неэлементарные звенья
5.7.1. Апериодическое звено 2-го порядка
Апериодическое звено 2-го порядка получается при последовательном соединении двух инерционных (апериодических) элементарных звеньев. Дифференциальное уравнение звена:
передаточная функция:
при отношении постоянных времени:
При Т2/Т1<2 корни уравнения будут комплексными, и звено превращается в колебательное.
5.7.2. Реальное дифференцирующее звено
Поэтому идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно и практически применяют звенья, обеспечивающие приближенно дифференцирующее действие.
Поэтому идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно и практически применяют звенья, обеспечивающие приближенно дифференцирующее действие.
Рис. 35. Характеристики реального дифференцирующего звена
а – временнáя характеристика; б – АФХ
Уравнение реального дифференцирующего звена представляет собой комбинацию из апериодического и дифференцирующего звеньев и имеет вид:
или в операторной форме:
откуда
