Глава 4. Линейные САР. Основы математического описания
4.1. Статические и динамические характеристики
4.2. Линейные САР
4.2.1. Дифференциальные уравнения линейных систем
4.2.2. Характеристические уравнения
4.2.3. ВременнЫе функции
4.3. Преобразование Лапласа. Передаточные функции
4.4. Методика идентификации объекта регулирования – получение «экспериментальных» передаточных функций
4.4.1. Экспериментальное получение кривых разгона
4.4.2. Аппроксимация кривых разгона
4.4.3. Расчет передаточных функций
4.5. Соединение элементов САР (звеньев)
Тест по главе 4.
4.2. Линейные САР
4.2.1. Дифференциальные уравнения линейных систем
4.2.2. Характеристические уравнения
4.2.3. ВременнЫе функции
4.3. Преобразование Лапласа. Передаточные функции
4.4. Методика идентификации объекта регулирования – получение «экспериментальных» передаточных функций
4.4.1. Экспериментальное получение кривых разгона
4.4.2. Аппроксимация кривых разгона
4.4.3. Расчет передаточных функций
4.5. Соединение элементов САР (звеньев)
Тест по главе 4.
4.1. Статические и динамические характеристики
Зависимости между входами и выходами АСР или ее элементов называются характеристиками.
Статическая характеристика – зависимость между входной и выходной величиной в установившемся состоянии. Представляют больший интерес с технологической точки зрения, нежели с точки зрения управления.
Динамическая характеристика – зависимость между входной и выходной величиной, описывающая движение системы или ее элемента при переходе из одного установившегося состояния в другое. При описании объекта в теории управления значительно чаще используются динамические характеристики. Одной из разновидностей динамических характеристик являются кривые разгона.
Кривой разгона называется кривая отклика исследуемого объекта на ступенчатое внешнее воздействие. Применительно к объекту регулирования, она отражает реакцию регулируемой величины x на быстрое (скачкообразное) изменение регулирующего воздействия xр или возмущения xв (рис. 6).
Рис. 6. Кривая разгона.
а – входное скачкообразное возмущение;
б – реакция (кривая разгона) объекта
Характеристики могут быть представлены алгебраическими и дифференциальными уравнениями, а также в форме таблиц и графиков. Обычно выделяют характеристики по каналам регулирования и каналам возмущения:
 |  |
Определить характеристики объекта можно двумя методами:
- аналитически, т. е. расчетом;
- экспериментально, т. е. из опыта на объекте.
Аналитический метод определяет не только зависимости x = f1(xp) или x=f2(xв), но еще и раскрывает влияние конструктивных или технологических особенностей объекта на эти зависимости. Кроме того, аналитический метод позволяет определить характеристики объекта еще на стадии проектирования технологии.
Экспериментальный метод можно реализовать только на функционирующем объекте, поэтому использовать этот метод при проектировании (когда еще возможно сделать объект проще управляемым) не представляется возможным. Кроме того, экспериментальный метод не раскрывает зависимость характеристик объекта регулирования от его параметров (метод черного ящика).
В то же время аналитический метод требует значительно больше вычислений, особенно для сложных объектов, и возникает такое противоречие: именно для сложных объектов требуется подробная характеристика, раскрывающая статические и динамические свойства объекта, а использовать аналитический метод для них затруднительно.
Получение характеристик системы экспериментальным методом называется идентификацией.
Математическая форма описания динамики системы регулирования (или ее элементов) может быть выбрана разная. Наибольшее распространение в теории автоматического управления получили следующие 5 способов математического описания:
1) Дифференциальное уравнение (или система дифференциальных уравнений).
2) Характеристическое уравнение.
3) Временнáя функция (другие названия: переходная характеристика, уравнение динамики).
4) Передаточная функция.
5) Частотные характеристики.
Далее непосредственно будут рассмотрены первые четыре способа математического описания. Частотным характеристикам посвящена отдельная глава.
- аналитически, т. е. расчетом;
- экспериментально, т. е. из опыта на объекте.
Аналитический метод определяет не только зависимости x = f1(xp) или x=f2(xв), но еще и раскрывает влияние конструктивных или технологических особенностей объекта на эти зависимости. Кроме того, аналитический метод позволяет определить характеристики объекта еще на стадии проектирования технологии.
Экспериментальный метод можно реализовать только на функционирующем объекте, поэтому использовать этот метод при проектировании (когда еще возможно сделать объект проще управляемым) не представляется возможным. Кроме того, экспериментальный метод не раскрывает зависимость характеристик объекта регулирования от его параметров (метод черного ящика).
В то же время аналитический метод требует значительно больше вычислений, особенно для сложных объектов, и возникает такое противоречие: именно для сложных объектов требуется подробная характеристика, раскрывающая статические и динамические свойства объекта, а использовать аналитический метод для них затруднительно.
Получение характеристик системы экспериментальным методом называется идентификацией.
Математическая форма описания динамики системы регулирования (или ее элементов) может быть выбрана разная. Наибольшее распространение в теории автоматического управления получили следующие 5 способов математического описания:
1) Дифференциальное уравнение (или система дифференциальных уравнений).
2) Характеристическое уравнение.
3) Временнáя функция (другие названия: переходная характеристика, уравнение динамики).
4) Передаточная функция.
5) Частотные характеристики.
Далее непосредственно будут рассмотрены первые четыре способа математического описания. Частотным характеристикам посвящена отдельная глава.
4.2. Линейные САР
4.2.1. Дифференциальные уравнения линейных систем
Линейной будем называть систему, которую можно описать дифференциальным уравнением (или системой дифференциальных уравнений) вида:
 |
где xвых – выходная величина; xвх.i – i-я входная величина; a, b, c, … – коэффициенты, не зависящие от xвых и xвх.i, t – время.
Переменные x, описывающие систему, представляют собой функции времени и делятся на входные и выходные так, чтобы входные являлись причиной изменения выходных. Коэффициенты a, b, c, … описывают свойства системы.
Система называется стационарной, если коэффициенты a, b, c, … не зависят от времени, и нестационарной, если хотя бы один из них от времени зависит.
Система является нелинейной, если хотя бы один из коэффициентов a, b, c, … зависит от xвых или xвх..
Если система имеет одну выходную переменную, т.е. описывается одним уравнением вида (4.1), то она называется одномерной. Многомерные системы имеют более одной выходной величины и описываются системой уравнений вида (4.1).
Порядком рассматриваемой системы называется наивысший порядок производной в ее дифференциальном уравнении (или системе дифференциальных уравнений).
Левая часть уравнения (4.1) описывает собственное движение системы – изменение ее состояния в отсутствие внешних воздействий. Правая часть описывает влияние внешних воздействий на состояние системы.
Уравнение (4.1) относится только к системам без запаздывания. Для систем с запаздыванием хотя бы одна из величин xвых или xвх. должна быть представлена как функция с запаздывающим аргументом:
Например, для объекта регулирования первого порядка без запаздывания с одной регулируемой величиной x уравнение (4.1) запишется как
Переменные x, описывающие систему, представляют собой функции времени и делятся на входные и выходные так, чтобы входные являлись причиной изменения выходных. Коэффициенты a, b, c, … описывают свойства системы.
Система называется стационарной, если коэффициенты a, b, c, … не зависят от времени, и нестационарной, если хотя бы один из них от времени зависит.
Система является нелинейной, если хотя бы один из коэффициентов a, b, c, … зависит от xвых или xвх..
Если система имеет одну выходную переменную, т.е. описывается одним уравнением вида (4.1), то она называется одномерной. Многомерные системы имеют более одной выходной величины и описываются системой уравнений вида (4.1).
Порядком рассматриваемой системы называется наивысший порядок производной в ее дифференциальном уравнении (или системе дифференциальных уравнений).
Левая часть уравнения (4.1) описывает собственное движение системы – изменение ее состояния в отсутствие внешних воздействий. Правая часть описывает влияние внешних воздействий на состояние системы.
Уравнение (4.1) относится только к системам без запаздывания. Для систем с запаздыванием хотя бы одна из величин xвых или xвх. должна быть представлена как функция с запаздывающим аргументом:
xвых(t – τ) или xвх(t – τ),
где τ – время запаздывания, характеризующее «отставание» той или иной функции.Например, для объекта регулирования первого порядка без запаздывания с одной регулируемой величиной x уравнение (4.1) запишется как
 |
где входной величиной является регулирующее воздействие xр..
Если же регулирующее воздействие оказывает свое влияние на регулируемую величину не сразу, а спустя некоторое время τ, для такого объекта нужно взять другое уравнение, где запаздывание τ войдет в аргумент функции регулирующего воздействия:
Если же регулирующее воздействие оказывает свое влияние на регулируемую величину не сразу, а спустя некоторое время τ, для такого объекта нужно взять другое уравнение, где запаздывание τ войдет в аргумент функции регулирующего воздействия:
 |
Аналитическое решение уравнений систем с запаздыванием представляет большие затруднения и не всегда возможно в принципе.
В установившемся состоянии все производные переменных системы равны нулю, и уравнение (4.1) превращается в уравнение статической характеристики:
В установившемся состоянии все производные переменных системы равны нулю, и уравнение (4.1) превращается в уравнение статической характеристики:
 |
4.2.2. Характеристические уравнения
Если приравнять левую часть уравнения (4.1) к нулю, получим однородное дифференциальное уравнение n-го порядка, описывающее собственное движение линейной системы:
Если приравнять левую часть уравнения (4.1) к нулю, получим однородное дифференциальное уравнение n-го порядка, описывающее собственное движение линейной системы:
 |
Заменив производные оператором дифференцирования p, получим характеристическое уравнение данной системы:
 |
Характеристические уравнения используются при решении линейных дифференциальных уравнений. Вид («характер») функции, получаемой в результате такого решения, определяется корнями характеристического уравнения. Соответственно, и характер собственного движения системы будет определяться корнями уравнения (4.3):
- если имеется хотя бы одна пара комплексных корней, собственное движение носит колебательный характер, или, говорят, система обладает колебательными свойствами; если комплексных коней нет, то система колебательными свойствами не обладает;
- если все корни имеют отрицательную вещественную часть (или являются чисто вещественными отрицательными), то система обладает свойством самовыравнивания; если хотя бы один корень имеет неотрицательную вещественную часть (или хотя бы один корень чисто вещественный неотрицательный), система самовыравниванием не обладает.
Самовыравниванием называется способность системы самопроизвольно устанавливаться (переходить в установившееся состояние) под ограниченным внешним воздействием. Так, например, если на вход системы с самовыравниванием подать ступенчатое возмущение (а это и будет ограниченным внешним воздействием), то спустя некоторое время выходная величина установится на постоянном значении. В следующем разделе мы рассмотрим этот случай: получение кривых разгона.
- если имеется хотя бы одна пара комплексных корней, собственное движение носит колебательный характер, или, говорят, система обладает колебательными свойствами; если комплексных коней нет, то система колебательными свойствами не обладает;
- если все корни имеют отрицательную вещественную часть (или являются чисто вещественными отрицательными), то система обладает свойством самовыравнивания; если хотя бы один корень имеет неотрицательную вещественную часть (или хотя бы один корень чисто вещественный неотрицательный), система самовыравниванием не обладает.
Самовыравниванием называется способность системы самопроизвольно устанавливаться (переходить в установившееся состояние) под ограниченным внешним воздействием. Так, например, если на вход системы с самовыравниванием подать ступенчатое возмущение (а это и будет ограниченным внешним воздействием), то спустя некоторое время выходная величина установится на постоянном значении. В следующем разделе мы рассмотрим этот случай: получение кривых разгона.
4.2.3. ВременнЫе функции
Временнáя функция представляет собой решение уравнения (4.1) для заранее определенного внешнего воздействия xвх(t). В общем виде она может быть записана как функция времени:
Временнáя функция представляет собой решение уравнения (4.1) для заранее определенного внешнего воздействия xвх(t). В общем виде она может быть записана как функция времени:
 |
Чаще всего рассматриваются функции отклика выходной величины на ступенчатое внешнее воздействие
 |
Выражения для таких временных функций называют уравнениями кривых разгона.
Для рассмотренного выше объекта регулирования первого порядка без запаздывания уравнение кривой разгона по регулируемой величине x следует искать как решение уравнения
Для рассмотренного выше объекта регулирования первого порядка без запаздывания уравнение кривой разгона по регулируемой величине x следует искать как решение уравнения
 |
где Δxвх = const – величина ступенчатого воздействия.
Обозначим a1/a0 как T, а b0/a0 как K, и получим
Обозначим a1/a0 как T, а b0/a0 как K, и получим
 |
Если рассматривать x в величинах отклонения от ее первоначального значения, начальное условие будет нулевым:
x(0) = 0.
Запишем характеристическое уравнение:Tp + 1 = 0.
Решение исходного дифференциального уравнения имеет вид
 |
это есть уравнение кривой разгона объекта первого порядка без запаздывания.
Параметры T и K представляют собой свойства данного объекта и называются постоянной времени и коэффициентом усиления соответственно (подробнее см. в Главе 5).
4.3. Преобразование Лапласа. Передаточные функции
Функция F(p) называется изображением (или отображением) по Лапласу функции f(t), если выполняется равенство:
 |
При этом функция f(t) называется оригиналом функции F(p).
Преобразование согласно формуле (4.4) – преобразование Лапласа – позволяет перейти от временнóй области определения переменной t (t – время) к области определения некоторой переменной p, которая в отличие от времени может принимать комплексные значения.
Обозначается данное преобразование через оператор Лапласа L:
 |
Преобразование Лапласа упрощает решение многих задач благодаря своим свойствам. Рассмотрим их.
1. Если f1(t) = f2(t), то F1(p) = F2(p).
2. Свойство линейности преобразования Лапласа:
 |
где ci - постоянные коэффициенты, а
 |
3. Изображение производных. Для производной n-го порядка:
 |
где
 |
Для производной первого порядка данное выражение превращается в
 |
При нулевых начальных условиях:
 |
Преобразование по Лапласу можно выполнять непосредственно с помощью интегрирования по выражению (4.4), однако это может быть весьма трудоемко, а, главное, для большинства типовых функций отображения уже получены и сведены в таблицы. Приведем такую таблицу и здесь для наиболее распространенных функций и их изображений.
 |
Одной из разновидностей динамических характеристик объекта является передаточная функция.
Передаточная функция (ПФ) представляет собой отношение изображения по Лапласу величины выходного сигнала к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях:
 |
Преобразование по Лапласу позволяет перейти от дифференциального уравнения к алгебраическому (см. свойство 3). Например, дифференциальное уравнение объекта в общем виде:
 |
Преобразование по Лапласу этого уравнения дает:
 |
и тогда передаточная функция объекта регулирования будет иметь вид:
 |
Как видно из уравнения (4.5а), передаточная функция зависит только от параметров системы (коэффициенты a и b) и не зависит от входной величины. ПФ полностью определяет динамические свойства линейной системы.
Зная передаточную функцию и внешнее воздействие, очень легко найти функцию отклика объекта на это воздействие:
 |
Если рассматриваемый объект имеет несколько входных и/или выходных величин, его описание будет представлять собой несколько передаточных функций. Каждому каналу объекта соответствует одна передаточная функция. Пусть, например, объект регулирования имеет одну регулируемую величину x и, следовательно, одно регулирующее воздействие xр, а при его описании рассматривается одно внешнее возмущающее воздействие (см. рисунок).
 |
Тогда в объекте можно выделить два канала: «регулирующее воздействие – регулируемая величина» (канал регулирования) и «возмущающее воздействие – регулируемая величина» (канал возмущения), и для полного описания объекта потребуется найти две передаточные функции: Wр(p) и Wв(p) соответственно.
4.4. Методика идентификации объекта регулирования – получение «экспериментальных» передаточных функций
Передаточные функции могут быть получены аналитическим путем. «Аналитическая» передаточная функция имеет свои достоинства и недостатки, она, как любой аналитический метод исследования раскрывает влияние конструктивных и технологических особенностей объекта, позволяет исследовать свойства объекта еще на стадии проектирования технологии, но требует выполнения большого объема вычислительных операций. Поэтому в практике исследования систем управления чаще используются «экспериментальные» передаточные функции, полученные из кривых разгона.
Методика получения «экспериментальной» передаточной функции состоит из следующих стадий:
- Получают кривую разгона по исследуемому каналу объекта (экспериментальная стадия).
- Аппроксимируют кривую разгона, получая при этом ее математическое описание, и проверяют адекватность (сходимость) экспериментальной и расчетной кривых разгона.
- Рассчитываю выражение для передаточной функции с использованием преобразования Лапласа.
4.4.1. Экспериментальное получение кривых разгона
Наиболее простым экспериментальным методом определения характеристик объекта регулирования является получение на объекте кривой разгона (временнóй характеристики).
Кривую разгона получают следующим образом: после установки равновесного режима работы исследуемого объекта, производится быстрое (скачкообразное) перемещение регулирующего органа на линии регулирующего воздействия или запорного устройства на линии возмущения. В процессе проведения эксперимента очень важно предотвратить возникновение других возмущений. Величина перемещения регулирующего или запорного органа должна выбираться, исходя из конкретных условий работы исследуемого объекта. Она должна быть достаточно большой для того, чтобы мелкие посторонние возмущения существенно не исказили характера изменения регулируемой величины. Однако слишком большие возмущения также нежелательны, так как в этом случае в характеристике объекта могут появиться существенные нелинейные зависимости. Кроме того, процесс получения кривой разгона является нарушением режима производственного объекта, и поэтому значительные возмущения могут привести к сильным нарушениям режима работы объекта.
В процессе эксперимента необходимо записывать («регистрировать») не только кривую разгона, но и величину ступенчатого возмущения.
Пусть перед началом эксперимента на вход исследуемого канала объекта (рис. 10,г) подавалось некоторое значение величины
Наиболее простым экспериментальным методом определения характеристик объекта регулирования является получение на объекте кривой разгона (временнóй характеристики).
Кривую разгона получают следующим образом: после установки равновесного режима работы исследуемого объекта, производится быстрое (скачкообразное) перемещение регулирующего органа на линии регулирующего воздействия или запорного устройства на линии возмущения. В процессе проведения эксперимента очень важно предотвратить возникновение других возмущений. Величина перемещения регулирующего или запорного органа должна выбираться, исходя из конкретных условий работы исследуемого объекта. Она должна быть достаточно большой для того, чтобы мелкие посторонние возмущения существенно не исказили характера изменения регулируемой величины. Однако слишком большие возмущения также нежелательны, так как в этом случае в характеристике объекта могут появиться существенные нелинейные зависимости. Кроме того, процесс получения кривой разгона является нарушением режима производственного объекта, и поэтому значительные возмущения могут привести к сильным нарушениям режима работы объекта.
В процессе эксперимента необходимо записывать («регистрировать») не только кривую разгона, но и величину ступенчатого возмущения.
Пусть перед началом эксперимента на вход исследуемого канала объекта (рис. 10,г) подавалось некоторое значение величины
 |
(«начальное»). Его сохраняют постоянным до тех пор, пока на выходе не установится также постоянное (в пределах некоторой погрешности, связанной с наличием помех) значение величины
 |
Затем в момент времени t0 резко (скачкообразно, «ступенчато») изменяют входную величину до нового («конечного») значения
 |
Величина скачка составит
 |
График изменения величины на входе канала показан на рис. 10,а.
В результате нанесенного внешнего воздействия на выходе спустя некоторое время ч с момента t0 начнется изменение (отклик) величины X (рис. 10,б и 10,в). Если канал объекта обладает свойством самовыравнивания и инерционностью, то спустя еще некоторое время X установится на новом значении Xкон. Значение изменения выходной величины в результате внешнего воздействия будет равно
В результате нанесенного внешнего воздействия на выходе спустя некоторое время ч с момента t0 начнется изменение (отклик) величины X (рис. 10,б и 10,в). Если канал объекта обладает свойством самовыравнивания и инерционностью, то спустя еще некоторое время X установится на новом значении Xкон. Значение изменения выходной величины в результате внешнего воздействия будет равно
 |
Время τч называют временем чистого (иногда «транспортного») запаздывания.
4.4.2. Аппроксимация кривых разгона
Аппроксимация – это приближенное описание экспериментальных данных математическим выражением. Применительно к кривой разгона, таким выражением будет временнáя функция (см. раздел 4.2), которую также называют «аппроксимирующим уравнением» кривой разгона.
Обычно аппроксимацию проводят в два этапа:
Аппроксимация – это приближенное описание экспериментальных данных математическим выражением. Применительно к кривой разгона, таким выражением будет временнáя функция (см. раздел 4.2), которую также называют «аппроксимирующим уравнением» кривой разгона.
Обычно аппроксимацию проводят в два этапа:
- Определяют время чистого запаздывания по начальному участку кривой разгона.
- Аппроксимируют математическим выражением оставшуюся часть кривой разгона – без учета запаздывания.
 |
На втором этапе аппроксимации кривых разгона чистое запаздывание не учитывают. Поэтому обработку кривых разгона необходимо начинать с переноса оси ординат вправо на величину времени чистого запаздывания τч. Все значения регулируемой величины, полученные до момента времени t0 + τч, отбрасываются (заштрихованная область на рис. 10,д).
В дальнейшем звено чистого запаздывания будет добавлено к формуле полученной передаточной функции объекта регулирования.
Графический метод аппроксимации. В простейшем случае применяется графический метод аппроксимации. Он позволяет путем построений на графике кривой разгона определить три свойства объекта регулирования:
В дальнейшем звено чистого запаздывания будет добавлено к формуле полученной передаточной функции объекта регулирования.
Графический метод аппроксимации. В простейшем случае применяется графический метод аппроксимации. Он позволяет путем построений на графике кривой разгона определить три свойства объекта регулирования:
- Время чистого запаздывания ч (должно быть найдено ранее)
- Постоянная времени объекта T – время, за которое выходная величина достигла бы своего нового установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости в начальный момент (рис. 10,б,в) или изменялась бы с максимальной постоянной скоростью, равной скорости в точке перегиба А кривой разгона (рис. 10,в).
- Коэффициент усиления объекта
 |
Результатом аппроксимации графическим методом должно быть уравнение временнóй функции линейной системы 1-го порядка, рассмотренное в разделе 4.2. Его можно записать как
 |
В данное уравнение входят лишь два неизвестных параметра. Параметр
 |
находят как разность между конечным и начальным установившимися значениями выходной величины:
 |
Для нахождения другого параметра – постоянной времени T – необходимо:
- найти на кривой разгона точку перегиба А, как это показано на рис. 10,в (если перегиб отсутствует, за точку А берут начало кривой без запаздывания – рис. 10,б);
- провести касательную к кривой разгона в точке А;
- определить постоянную времени T как разность абсцисс точек пересечения касательной с линией конечного и начального установившихся значений величины X.
 |
которую называют полным запаздыванием канала объекта.
Указанные три свойства объекта регулирования не всегда однозначно определяют динамику объекта, поэтому графический метод используется только для приближенных расчетов САР. В большинстве случаев требуется описание объекта уравнениями порядка выше первого (чаще всего 2-го), для чего применяются более сложные методы.
Графоаналитические методы аппроксимации позволяют с помощью более сложных по сравнению с рассмотренными выше манипуляций с графиком кривой разгона получать уравнения порядка выше первого, например, вида:
Указанные три свойства объекта регулирования не всегда однозначно определяют динамику объекта, поэтому графический метод используется только для приближенных расчетов САР. В большинстве случаев требуется описание объекта уравнениями порядка выше первого (чаще всего 2-го), для чего применяются более сложные методы.
Графоаналитические методы аппроксимации позволяют с помощью более сложных по сравнению с рассмотренными выше манипуляций с графиком кривой разгона получать уравнения порядка выше первого, например, вида:
 |
Как один из таких методов, дающий неплохое приближение к экспериментальным данным, следует отметить метод Орманса. Графоаналитические методы в настоящее время вытеснены машинными (см. далее), мало распространены и в данном учебном курсе не используются.
Поисковые (машинные) методы аппроксимации. В данную группу входят различные методы многомерной оптимизации, реализованные в виде алгоритмов поиска неизвестных параметров аппроксимирующего уравнения или готовой передаточной функции для компьютерных («машинных») расчетов. Примером компьютерной программы для идентификации объектов может служить компонент «System Identification», входящий в пакет Matlab. Общей для данных алгоритмов является оптимизационная задача – минимизация критерия рассогласования между экспериментальной и расчетной кривыми. Обычно используются квадратичные критерии, например:
Поисковые (машинные) методы аппроксимации. В данную группу входят различные методы многомерной оптимизации, реализованные в виде алгоритмов поиска неизвестных параметров аппроксимирующего уравнения или готовой передаточной функции для компьютерных («машинных») расчетов. Примером компьютерной программы для идентификации объектов может служить компонент «System Identification», входящий в пакет Matlab. Общей для данных алгоритмов является оптимизационная задача – минимизация критерия рассогласования между экспериментальной и расчетной кривыми. Обычно используются квадратичные критерии, например:
 |
где xэксп – значения («точки»), взятые из экспериментальной кривой разгона; где xрасч – значения, рассчитанные по аппроксимирующему уравнению в те же моменты времени; n – число этих значений.
Проверку адекватности полученного аппроксимирующего уравнения также проводят по критериям рассогласования, аналогичным (4.6). Кроме того, если аппроксимация выполнялась несколькими методами, данные критерии позволяют выбрать наилучший вариант: для него R2 будет наименьшим.
Проверку адекватности полученного аппроксимирующего уравнения также проводят по критериям рассогласования, аналогичным (4.6). Кроме того, если аппроксимация выполнялась несколькими методами, данные критерии позволяют выбрать наилучший вариант: для него R2 будет наименьшим.
4.4.3. Расчет передаточных функций
Алгоритм расчета передаточной функции следующий.
1. Полученное аппроксимирующее уравнение – функцию X(t) преобразуют по Лапласу, получив таким образом ее изображение X(p).
2. Находят передаточную функцию без учета запаздывания W*(p) по формуле
Алгоритм расчета передаточной функции следующий.
1. Полученное аппроксимирующее уравнение – функцию X(t) преобразуют по Лапласу, получив таким образом ее изображение X(p).
2. Находят передаточную функцию без учета запаздывания W*(p) по формуле
 |
где Xв(p) – отображение по Лапласу ступенчатого воздействия:
 |
3. В выражение для передаточной функции вводят звено запаздывания. Величина запаздывания будет зависеть от метода аппроксимации кривой разгона. Выражение для окончательной передаточной функции будет иметь вид:
 |
Следует учитывать, что при графическом методе аппроксимации к чистому запаздыванию может потребоваться добавить динамическое, тогда итоговая передаточная функция запишется так:
 |
Коэффициент усиления полученной передаточной функции должен быть равен
 |
Это выражение можно использовать для проверки выполненных расчетов.
4.5. Соединение элементов (звеньев) САР
Любую линейную систему, в том числе, САР, можно представить как совокупность элементарных типовых элементов, называемых динамическими звеньями, определенным образом соединенных между собой.
Схемы САР, представленные соединениями элементарных динамических звеньев, называются структурными. При составлении структурной схемы динамические звенья изображаются прямоугольниками, внутри которых указываются соответствующие передаточные функции, а связи между ними – стрелками, указывающими направление передачи сигналов. Составление структурных схем облегчает анализ и синтез реальных САР. Динамические свойства САР определяются не только характеристиками элементарных звеньев, но и порядком их соединения.
Рассмотрим основные типы соединений: последовательное, параллельное и с обратными связями (рис. 38).
Рис. 38. Структурные схемы соединения звеньев:
а – последовательного; б – параллельного; в – с обратной связью
Последовательное соединение представляет собой цепочку из n звеньев, у которых выход предыдущего является входом последующего звена (рис. 38,а). Из определения передаточной функции следует, что:
и
Отсюда следует, что для последовательно соединенных звеньев общая передаточная функция равняется произведению функций отдельных звеньев:
где n – количество звеньев.
Рассмотрим, какой вид будет иметь передаточная функция для последовательного соединения цепочки из трех звеньев, если
Рассмотрим, какой вид будет иметь передаточная функция для последовательного соединения цепочки из трех звеньев, если
Параллельное соединение – это соединение, при котором один и тот же входной сигнал x подается на множество входов, как это показано на структурной схеме (рис. 38,б). Для каждого звена передаточная функция будет иметь вид:
Согласно определению параллельного соединения звеньев:
т.е.
Так как
то
Следовательно, общая передаточная функция для трех параллельно соединенных звеньев будет иметь вид:
или в общем случае:
Соединения с обратной связью. В САР выходная величина объекта регулирования является входной для регулятора, а его выход воздействует на вход объекта, т.е. объект и регулятор образуют обратную связь (рис. 38,в):
Передаточная функция объекта
Передаточная функция регулятора:
При отрицательной обратной связи выходная величина регулятора вычитается из входной величины объекта, т.е.
В таком случае связи между входной и выходной величинами объекта регулирования можно записать следующим образом:
Так как
то предыдущее выражение примет вид:
или после группировки однородных членов:
т.е. передаточная функция для системы с отрицательной обратной связью будет иметь вид:
Аналогично для системы с положительной обратной связью можно получить следующее выражение:
При отрицательной обратной связи W(p)<Wоб(p), а при положительной обратной связи W(p)>Wоб(p).
Рассмотрим пример соединения элементарных звеньев (рис. 39).
Рассмотрим пример соединения элементарных звеньев (рис. 39).
Рис. 39. Пример соединения звеньев
Передаточная функция такой системы имеет вид:
Знак «+» в знаменателе формулы (64) будет в тех случаях, когда звенья W4( p) и W5( p) образуют систему с отрицательной обратной связью, а знак « - », когда звенья W4( p) и W5( p) образуют систему с положительной обратной связью. Следует помнить, что во всех АСР используется отрицательная обратная связь.
Источник
Плютто В. П., Дубровский И. И. Элементы теории управления химико-технологическими процессами и системами. Конспект лекций: Учеб. пособие – М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2003. – 127 с.
Источник
Плютто В. П., Дубровский И. И. Элементы теории управления химико-технологическими процессами и системами. Конспект лекций: Учеб. пособие – М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2003. – 127 с.
