6.1. Обыкновенные и расширенные частотные характеристики

Для определения частотной характеристики необходимо рассмотреть процессы при гармонических возмущениях входной величины xp или xв, вносимых с различной частотой ω (рад/с).
Если на вход объекта вносится возмущающее воздействие xp или xв вида

где A – амплитуда, а ωt– частота гармонических колебаний, то на выходе линейного (или близкого к нему) устойчивого объекта по истечении некоторого промежутка времени возникнут установившиеся колебания выходной величины x с той же частотой, но другой амплитудой B и некоторым сдвигом фаз φ относительно входных колебаний (рис. 13):

Графики колебательных процессов на входе и выходе линейной системы показаны на рис. 13. Наличие сдвига фазы выходных колебаний приводит к тому, что кривая изменения выходной переменной во времени сдвигается на некоторую время Δt относительно входной переменной, причем

Отсюда следует, что если сдвиг фазы φ имеет знак «минус», то Δt – положительна, и выходные колебания отстают от входных. Если же φ положителен, то выходные колебания опережают входные.

Амплитуда выходных колебаний B (при постоянной входной амплитуде A) и сдвиг фаз этих колебаний j определяются свойствами исследуемого объекта и зависят только от частоты колебаний ω. Обозначим отношение амплитуд как M = B/A. Кривая зависимости отношения амплитуд выходных и входных колебаний M(ω) от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой объекта, а кривая ф(ω) - его фазочастотной характеристикой (рис. 14).

Зависимость между выходными и входными колебаниями для каждой частоты ω может быть представлена на комплексной плоскости вектором, модуль которого равен M(ω) = B/A , а аргумент – соответствующему этой частоте сдвигу фаз ф. Совокупность этих векторов для частоты от нуля до бесконечности (практически - до частоты, когда объект перестает пропускать колебания вследствие своей инерционности – частоты среза) является амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) объекта и может быть представлена в виде годографа на комплексной плоскости. Такой годограф наглядно представляет динамические свойства объекта (рис. 15).

Для дальнейших расчетов регулятора АФХ является более удобной формой представления динамических свойств объекта, чем передаточная функция объекта. Однако получение АФХ прямо на объекте исследования требует наличия специального синусоидального генератора и занимает много времени. Поэтому обычно АФХ получают из кривой разгона:
· снимают кривую разгона;
· получают передаточную функцию;
· заменяют символ оператора p на iω и получают АФХ.
Например, имея передаточную функцию

можно получить АФХ:

или в показательной форме:

Одним из способов расчета АСР является метод расширенных частотных характеристик (РЧХ) [3], которые характеризуют свойства объекта (или регулятора) при подаче на вход синусоидальных возмущений с затухающей амплитудой. Получаются РЧХ путем замены символа оператора p в передаточной функции на (-mω+iω), где m – степень колебательности. Подробнее РЧХ рассмотрены ниже.
Из вышесказанного следует, что и для получения передаточной функции, и для получения амплитудно-фазовой характеристики необходимо аппроксимировать кривую разгона.
Заменив в выражении передаточной функции p на комплексную переменную (-mω+iω), получаем расширенную амплитудно-фазовую (частотную) характеристику – РАФХ (РЧХ). Расширенными такие характеристики называются потому, что они как бы «расширены» по отношению к обычной АФХ (рис. 56).

Предположим, что объект регулирования имеет передаточную функцию второго порядка следующего вида:

Для дальнейшего математического моделирования АСР передаточную функцию необходимо преобразовать:

Расширенная амплитудно-фазовая характеристика объекта регулирования при замене p на (-mω+iω) будет иметь вид:

Обозначим:

6.2. Частотные характеристики элементарных звеньев

Пропорциональное (усилительное, безынерционное) звено
Передаточная функция и амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) звена:

Как видно, независимо от частоты ω модуль АФХ равен коэффициенту усиления звена K, а аргумент – нулю. При этом график (годограф) АФХ на комплексной плоскости вырождается в точку, лежащую на вещественной положительной полуоси, и отстоящую от начала координат на величину K (рис. 29).

Из выражения (и графика) АФХ следует, что при прохождении синусоидального сигнала через пропорциональное звено его амплитуда изменяется в K раз на всех частотах, при этом отсутствует сдвиг по фазе между входными и выходными колебаниями (угол φ = 0).

Инерционное (апериодическое) звено
Из передаточной функции

найдем амплитудно-фазовую характеристику, заменив p на iω (график АФХ приведен на рис. 30):

Амплитудно-частотная характеристик звена, представляющая собой модуль АФХ, запишется как

Из этого выражения следует, что с увеличением частоты амплитуда колебаний на выходе звена будет уменьшаться. Подавление колебаний в определенном диапазоне частот называется фильтрацией. Инерционное звено обладает фильтрующими свойствами: подавляет высокочастотные колебания и пропускает низкочастотные. Поэтому данное звено может использоваться как основа для построения устройства, которое называется фильтром низкой частоты (ФНЧ) и предназначено для выделения полезного низкочастотного сигнала (например, измерительного сигнала от датчика) из его суммы с высокочастотными помехами.
Также амплитуда колебаний на выходе звена будет уменьшаться при увеличении величины постоянной времени T. То, что постоянная времени T входит в знаменатель выражения АЧХ в виде произведения на частоту ω, приводит к тому, что при больших T заметное подавление колебаний будет начинаться уже при сравнительно малых частотах, т.е. увеличение постоянной времени усиливает фильтрующие свойства звена. Поэтому следует учитывать, что слишком большие значения T вызывают ослабление не только помех, но и полезного низкочастотного сигнала.
Фазочастотная характеристика (аргумент АФХ):

Из данного выражения следует, что сдвиг фазы с увеличением частоты будет увеличиваться в сторону отставания выходных колебаний от входных (знак «минус» в формуле). Также от будет увеличиваться и при увеличении постоянной времени T. Следовательно, увеличение T снижает скорость реакции звена на изменение входного сигнала, т.е. увеличивает инерционность звена, а постоянная времени является характеристикой инерционности.

Интегрирующее звено.
Найдем амплитудно-фазовую характеристику интегрирующего звена из передаточной функции:

Так как по формуле Эйлера

откуда

График АФХ интегрирующего звена приведен на рис. 32.

Из АФХ видно, что интегрирующее звено уменьшает амплитуду проходящего через него синусоидального сигнала по мере увеличения частоты колебаний. При этом выходные колебания независимо от частоты сдвинуты относительно входных в сторону отставания (знак «минус») на π/2, т.е. интегрирующее звено, также как и инерционное, вносит задержку в прохождение сигнала.

Дифференцирующее звено.
Заменим в передаточной функции дифференцирующего звена:

p на iω, и, с учетом формулы Эйлера, получим выражение для АФХ:

График АФХ дифференцирующего звена приведен на рис. 34.

Из выражения для АФХ и ее графика видно, что дифференцирующее звено усиливает амплитуду проходящего через него сигнала по мере увеличения частоты колебаний. Это приводит к тому, что высокочастотные помехи («шум») данным звеном усиливаются (сравните с инерционным звеном). Поэтому не рекомендуется использовать регуляторы с дифференциальной составляющей (ПИД-, ПД-) для регулирования «зашумленных» величин. Таковым часто бывает, например, измерительный сигнал от расходомеров, поэтому для регулирования расхода обычно применяют ПИ- и (реже) П-регуляторы.
Следует обратить внимание, что фазочастотная характеристика

всегда положительна, т. е. идеальное дифференцирующее звено на выходе создает опережение входного сигнала при всех частотах ω. В математическом аспекте это возможно, но совершенно невозможно с точки зрения материального и теплового балансов. Поэтому идеальное дифференцирующее звено можно реализовать лишь программно (например, в алгоритме цифрового ПИД-регулятора), но не физически. Физические объекты, оказывающие дифференцирующее действие, можно описать реальными дифференцирующими звеньями.
Передаточная функция реального дифференцирующего звена

откуда можно найти АФХ:

График АФХ данного звена показан на рис. 35.

Колебательное звено и апериодическое звено второго порядка
Выражение передаточной функции звеньев данного типа имеет единый вид:

Амплитудно-фазовая характеристика также будет общей для двух звеньев:

Звено является колебательным при T2/T1 < 2, при T2/T1 >= 2 – апериодическим. Графики АФХ звеньев данного типа при различных отношениях постоянных времени показаны на рис. 35.

Звено запаздывания
Передаточная функция звена запаздывания

откуда амплитудно-фазовая характеристика:

ее график показан на рис. 37.

Из выражения для АФХ видно, что модуль АФХ (амплитудно-частотная характеристика) равен 1 для всех частот:

Следовательно, амплитуда сигнала, пропускаемого через звено запаздывания, не меняется независимо от частоты.
Фаза АФХ (фазочастотная характеристика) равна

из чего ясно, что звено запаздывания вносит сдвиг по фазе в колебания на выходе по сравнению с входными в сторону отставания (знак «минус»), причем при росте частоты отставание увеличивается.

Использованные материалы:

Плютто В. П., Дубровский И. И. Элементы теории управления химико-технологическими процессами и системами. Конспект лекций: Учеб. пособие – М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2003. – 127 с.